Informaticus Philosophicus

Autor : Gerd Raudenbusch
Stand : 05.01.2025

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Inhalt

• Teil 1 : Abschied von der Polarität
  • Komplexe Systeme
    • Rückkopplungen
    • Iterationen
    • Orbits und Fixpunkte
      • Beispiel : Feigenbaum
      • Beispiel : Mandelbrot und Julia
    • Räuber-Beute-Beziehungen
    • Ausblick auf komplexere Systeme
    • Die synergetische Perspektive
    • Strategien der Evolution
    • Zelluläre Automaten
      • Eindimensionale zelluläre Automaten
      • Zweidimensionale zelluläre Automaten
      • Klassifikation und Bedeutung zellulärer Automaten
    • Die Frage nach der Ordnung
      • Triviale Maschine
      • Nichttriviale Maschine
    • Multiagenten-Simulationen
      • Ameisenstraßen
      • Emergenz
      • Soziale Systeme
        • Vertrauen
        • Kooperation
        • Fairness
        • Zusammenhalt
    • Sinn als Perspektive
    • Neuronale Netze
    • Kognitive Homöostase
    • Kybernetik zweiter Ordnung
      • Der Beobachter zweiter Ordnung
    • Scheitern als Erfolgsrezept
    • Lernen lernen
  • Übergang zur transklassischen Logik
    • Die traditionelle aristotelische Logik
    • Coincidentia oppositorum
    • Die Bedeutung der Logik für die Wissenschaft
    • Das Scheitern der aristotelischen Logik
    • Rettungsversuche der klassischen Logik
      • Mehrwertige Logiken
      • Gesetze der Form
    • Eine neue Logik
      • Irreflexivität
      • Einfache Reflexion
      • Doppelte Reflexion
      • Denken denken
      • Polykontextualität
        • Der Dreier-Kontext
          • Negationen im Dreier-Kontext
          • Verknüpfungen im Dreierkontext
          • Verallgemeinerung
        • Morphogrammatik
          • Interpretation der transklassischen Morphogramme
  • Was wir NICHT sind
• Teil 2 : Über das Unwissbare
  • Systemik
  • Allegorie
  • Semiotik
    • Die triadische Struktur des Zeichens
  • Sprache
  • Negativsprache
  • Seele und Seelensprache
    • Der Blick
    • Graph des Begehrens
    • Topologische Flächen
      • Sphäre
      • Torus
      • Kreuzhaube
      • Klein'sche Flasche
    • Borromäischer Knoten
  • Das Unwissbare
  • Hinter den Spiegeln
  • Der Lichtblick
    • Pandeistische Spekulation über Telekinese
  • Selbst-Ermächtigung
  • Irrwege und Weg
• Quellen und weiterführende Literatur
  • Kybernetik und radikaler Konstruktivismus
  • Komplexe Systeme
  • Philosophie
  • Transklassisches Denken
  • Semiotik
  • Psychologie

Teil 1 : Abschied von der Polarität

Es ist unbestreitbar, daß es zahllose Dichotomien in Natur und Physik gibt, denen auch wir als Menschen unterworfen sind. So haben wir in der modernen Gesellschaft neuerdings unendlich viele Geschlechter, von denen die davon unbeeindruckte Natur jedoch nach wie vor nur zwei für fortpflanzungsfähig hält. Obwohl das polare Prinzip der Vervielfältigung von Zellen und Organismen heutzutage nicht mehr heißen muss, daß man sich ihnen auch geistig bedingungslos unterwirft, sind dennoch immernoch mehrzählig Denkweisen vorherrschend, die ihnen mehr oder weniger tief verhaftet und dadurch eingeschränkt sind.

»Der neue Mensch der westlichen Hemisphäre identifiziert sich nicht mehr mit den reinen Formen des klassischen Denkens, die in einer langen und mühevollen Seelengeschichte des Menschen in der östlichen Hemisphäre entwickelt worden sind. Er sucht diese Formen dadurch von sich abzustoßen und sie innerlich zu überwinden, daß er versucht, sie aus seinem Seelenleben zu entlassen und in Maschinen, Roboter und KI, zu verbannen. [...] Aber die Tatsache, dass man in der Maschine immer wieder ein Produkt des Satans gesehen hat, weist auf eine enge Verbindung von Technik und Ethik hin, selbst wenn sie in diesem Fall das Äußerste an Negativismus bedeutet.« (Gotthard Günther).

Solange Menschen selbst wie ihre Maschinen denken, diese ehrfürchtig als überlegen betrachten, sich ihnen unüberlegt ausliefern und sich von Algorithmen polarisieren und ihre Aufmerksamkeit monetarisieren lassen, und dabei allmählich die Kontrolle über ihr eigenes Denken, Fühlen und Verhalten, und somit über ihre Entwicklung als Mensch verantwortungslos und vernachlässigen, oder gar Maschinen dazu benutzen, um sich sozialdarwinistisch über Andere zu stellen, bleibt der Zeitpunkt, an Maschinen mit Bewußtsein zu denken, hoffentlich unerreichbar weit in der Zukunft. Der Gedanke ist offensichtlich und zweifellos höchst dystopisch, solange der Mensch nicht selbst in der Lage ist, zu seiner natürlichen Menschlichkeit und ihrer überlegenen Stärke zu stehen.

In diesem Sinne hinken wir unserer Technik hinterher, womöglich verursacht dadurch, daß sich die Geisteswissenschaften und die Naturwissenschaften durch unterschiedliche Ansichten über die aristotelische Logik vor wenigen Jahrhunderten voneinander geschieden haben.

»Wer das Atom spalten kann und über Satelliten kommuniziert, muss die hierfür erforderliche intellektuelle und emotionale Reife besitzen. Diese zeichnet sich u. a. dadurch aus, dass man in der Lage ist, falsche Ideen sterben zu lassen, bevor Menschen für falsche Ideen sterben müssen.« (Manifest des evolutionären Humanismus)

Daher lohnt es sich, auch persönlich den Fragen nach dem Leben und dem Bewußtsein etwas auf die Spur zu kommen. Viele der bisherigen Erkenntnisse der Menschheit darüber waren so dermaßen tiefgreifend, daß daraus eigene theoretische Wissenschaftszweige oder gar Metatheorien entstanden sind.

Diese Erkenntnisse können es uns ermöglichen, uns über die letzten psychisch bikameralen Entwicklungswehen zu erheben, und dadurch soziale Emergenzen dauerhaft durch Reflexion anstatt durch Wertebekenntnisse zu erreichen.

Komplexe Systeme

• Chaostheorie : Lehre über die Entstehung von Ordnung und deterministischem Chaos in dynamischen Systemen
• Kybernetik : Lehre von der Gestaltung und Lenkung dynamischer Systeme
• Synergetik : Lehre von der selbstorganisierten Bildung emergenter Strukturen in dynamischen Systemen
• Spieltheorie: Lehre der Modellierung von Entscheidungssituationen
• Systemtheorie : Lehre vom Aufbau und der Klassifikation von Systemen

Rückkopplungen

In allen Theorien über und um dynamische Systeme, wie es die komplexen Systeme sind, spielen die Rückkopplungen eine zentrale Rolle, sie sind der rote Faden, der sich durch die gesamte Erkenntnis zieht und all diese wissenschaftlichen Theorien miteinander verbindet.

One tries to get inside oneself that inside of the outside that one was once inside once one tries to get oneself inside what one is outside: to eat and to be eaten to have the outside inside and to be inside the outside
(aus Knots., 1970, Seite 83, von R. D. Laing)

Von diesen Rückkopplungen sind nicht nur die Neuronen unseres Gehirns und die Organe in unserem Körper betroffen, sondern auch unser Bewußtsein, unsere gesamten Sozialsysteme und das planetare Ökosystem.

Alles ist Rückkopplung

• Positive Rückkopplung („Teufelskreis“) liegt vor, wenn sich eine Variable direkt oder indirekt selbst so beeinflusst, dass ihr Wachstum gleichzeitig zu weiterem Wachstum führt
  • Kann eskalierend auf Gleichgewichte wirken
  • Kann aber auch emergente Funktionen erzeugen
• Negative Rückkopplung („Engelskreis“) wirkt sich stabilisierend auf jedes System aus

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Durch die Rückkopplung kann es zu unterschiedlichem Schwingungsverhalten kommen :

• Das System ist absolut stabil. Sein Verhalten führt zu keinerlei Änderungen mehr. Für ein Regelsystem mit negativer Rückkopplung ist dies ideal, aber meist unrealistisch. Für einen Wachstumsprozess ist es der Tod.

• Das System schwingt sich über eine negative Rückkopplung inform irgendeiner gedämpften Schwingung ein.

• Das System oszilliert zwischen zwei Werten. Dies ist der Realzustand aller physikalischen Regelsysteme und gleichzeitig dann der gewünschte Zustand, wenn die Extremwerte den richtigen Abstand voneinander haben (meist so klein wie möglich).

• Durch eine positive Rückkopplung wird die Oszillation des Systems immer stärker. Dies kann zur Zerstörung der bisherigen Rückkopplung führen und ist in Regelsystemen fast immer unerwünscht.

Das wohl einfachste Beispiel der Anwendung einer negativen Rückkopplung ist der mechanische Fliehkraftregler :

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In der Mess- und Regeltechnik wird die negative Rückkopplung so beschrieben :

Eine "Störgröße" (z. B. Kälte) sorgt für den Abfall des IST-Werts, die "Regelgröße" (z. B. Raumtemparatur). Sie wird vom Fühler gemessen. Solange sie nicht dem SOLL-Wert, der "Führungsgröße" entspricht, wird die Regelgröße durch den Regler (z. B. Heizung) beeinflußt.

Regelsysteme, die sich nicht mehr stabilisieren, beginnen zu oszillieren. Diese Oszillationen können sich intensivieren, bis das System umkippt, also zerstört ist.

Iterationen

Die einfachste Form der Rückkopplung einer Größe auf sich selbst kann man mathematisch nicht nur durch Differenzialgleichungen, sondern auch durch Iterationsgleichungen darstellen. Während die Differenzialgleichungen explizit das Verhalten einer Größe beschreiben, tun dies Iterationsgleichungen nur implizit, indem sie lediglich die Rückkopplung der Größe beschreiben. Jedoch sind sie einfacher zu formulieren und meist einfacher zu berechnen.

• x₀ = <Startwert>
• x₁ = f ( x )
• x₂ = f ( x₁ ) = f ( f ( x₀ ) )
• xₙ₊₁ = f ( xₙ )

Diese Ausdrucksform ist so umfassend, daß die Mathematik damit sogar die Mächtigkeit ( ℵ ) von Mengen beschreibt.

• ℵ₀ = ∞
  (abzählbar unendlich, z. B. 𝐍 )
• ℵ₁ = 2 ^ ( ℵ₀ )
  (überabzählbar, z. B. 𝐑 )
• ℵₙ₊₁ = 2 ^ ( ℵₙ )
  (verallgemeinerte Kontinuumshypothese)

Orbits und Fixpunkte

Iterationsgleichungen haben die interessante Eigenschaft, daß sich für ihre Variablen im Laufe mehrerer Iterationen entweder Serien von Werten, die sich immerzu wiederholen (Orbits) oder sogar einzelne Werte, die sich nicht mehr ändern (Fixpunkte) ausbilden können. Mathematisch ausgedrückt gilt für die Fixpunkte also : x = f(x), sprich, was rein geht, kommt auch raus.

Im Prinzip ist das der Schlüssel aller Anpassung.

Fixpunkten läßt sich noch eine weitere Eigenschaft zuordnen, die auch Auswirkungen auf das gesamte Iterationsverhalten hat. Sie können

• anziehend (man nennt diese dann "Attraktoren"),
• abstoßend (man nennt diese dann "Repelloren"),
• oder invariant (keines von beidem) sein.

Die obige Grafik zeigt die Iteration zu einem Attraktor. Man fängt mit einem Startwert auf der x-Achse an und berechnet den Funktionswert (entspricht senkrechter Linie). Die Funktion selbst ist hier die Parabel. Aus diesem y-Wert macht man einen neuen x-Wert (entspricht waagerechter Linie; die Hilfsfunktion, die hier als Gerade diagonal nach oben geht, entspricht y = x und reflektiert einen beliebigen y-Wert als x-Wert). Dann geht es in die nächste Iteration.

Beispiel : Feigenbaum

Mitchell Feigenbaum zeigt uns, daß bereits sehr einfache Iterationsgleichungen zu deterministisch chaotischem Verhalten führen können.

Wachstum kommt durch positive Rückkopplung zustande. Pierre-François Verhulst hat das Wachstum, wie es zum Beispiel für Bakterien in einer Petrischale mit Nährboden, aber auch in vielen anderen natürlichen Bereichen vorliegt, bereits im Jahre 1837 mathematisch wiefolgt beschrieben :

f(x) = k • x • (1 - x)

Daraus läßt sich ganz leicht die Iterationsformel machen :

xₙ₊₁ = k • x • (1 - xₙ)

Erst mithilfe modernerer Technik war es möglich, die verschiedenen Fixpunkte der logistischen Funktion genauer zu erforschen, so wie es Mitchell Feigenbaum getan hat. Treten wir für einen Moment in seine Fußstapfen und untersuchen also die logistische Funktion, mit der Pierre-François Verhulst das Wachstum beschreibt, mit folgendem kleinen Python-Programm :

#!/usr/bin/python

def logistische_funktion(e, n, k):
    x=0.05
    print("i | n")
    for i in range(1,n+1):
        if i>=e:
            print("{} | {:.3f}".format(i,x))
        x = k * x * (1.0 - x)

while True:
    k=input()
    print("======================================================")
    logistische_funktion(380, 400, k)
    print("======================================================")

Wir betrachten die Ausgangswerte der 380. bis 400. Iteration mit verschiedenen k-Werten, in der sich erwartungsgemäß stabiles Verhalten sicher etabliert haben müßte :

Ab einem k-Wert von 3 können wir die sogenannte Bifurkation (Gabelung) sehen. Wir sehen ab dieser Größe von k nicht mehr nur einen alleinigen Fixpunkt, sondern plötzlich ein Orbit mit zwei alterierenden Werten. Und diese Bifurkation beginnt sich zunehmend zu wiederholen. Bei k = 3,5 werden es vier Werte, usw., bis wir schließlich bei k = 3,57 überhaupt keine Ordnung mehr erkennen können, weil sich die Äste zu überlappen beginnen. Da dieses daraus entstehende "Chaos" mit exakt den gleichen Ausgangswerten zuverlässig reproduzierbar ist, ist es deterministisch und nicht etwa zufällig.

Nun erweitern wir unser Python-Programm ein bißchen, sodaß es uns die Fixpunkte der logistischen Funktion in einem Diagramm auf der y-Achse in Abhängigkeit von den k-Werten auf der x-Achse anzeigt :

#!/usr/bin/python3

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def plot_feigenbaum():
    MU_MIN = 2.7
    MU_MAX = 4.0
    MU_DELTA = 0.001
    NUM_IT = 400
    X_INIT = 0.05
    fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=1, figsize=(18, 10))
    x = X_INIT
    x_list = np.arange(MU_MIN, MU_MAX, MU_DELTA).tolist()
    y_list = []
    for k in x_list:
        y = []
        for it in range(NUM_IT):
            x = k * x * (1.0 - x)
            y.append(x)
        y_list.append(y)

    ax.plot(x_list, y_list, ",k")
    ax.set_xlabel('Wachstumsfaktor K')
    ax.set_ylabel('{} x-Werte'.format(NUM_IT))
    plt.savefig("feigenbaum.png")
    plt.show()

if __name__== "__main__":
    plot_feigenbaum()

Mitchell Feigenbaum hat dadurch auch erkannt, daß

• das Verhältnis der Abstände zwischen den Gabelungen
• und das Verhältnis der Breiten aufeinander folgender Gabeln am nächsten Bifurkationspunkt

gegen konstante Werte, den sogenannten Feigenbaum-Konstanten streben. Diese sind den Chaos-Theoretikern so heilig, wie π den Pianern .

Beispiel : Mandelbrot und Julia

Das zweite, noch viel interessantere Beispiel zeigt uns

• daß Iterationsgleichungen auch fraktaloide Strukturen hervorbringen können, die in lebenden Systemen womöglich für eine holonische Organisation mitverantwortlich sind,
• und daß die interessanten, komplexen Mischungen in selbstorganisierten Systemen, aus denen womöglich, neue Emergenzen hervorgehen, nicht nur alleine auf Ordnung, sondern immer auch auf einer Portion Chaos basieren müssen

Zwischen der Mandelbrot-Menge und dem Feigenbaum-Diagramm gibt es eine direkte Korellation, wie das folgende Bild zeigt :

Wenn man das zugehörige Python-Programm schreiben will, fällt auf : Die vermeintlich einfach aussehende Iterationsgleichung zₙ₊₁ = (zₙ)² + c hat es insofern ein bißchen in sich, als daß z und c komplexe Zahlen sind, denn es gibt eigene Rechenregeln, um diese zu addieren und zu multiplizieren (ℂ ist ein eigener Körper).

#!/usr/bin/python3
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def mandelbrot_set(width=1024, height=768, zoom=1, x_off=0, y_off=0, niter=256):
    pixels = np.arange(width*height, dtype=np.uint16).reshape(height, width)
    for x in range(width): 
        for y in range(height):
            px = 1.5*(x + x_off - 3*width/4)/(0.5*zoom*width)
            py = 1.0*(y + y_off - height/2)/(0.5*zoom*height)

            c = complex(px, py)
            z = complex(0, 0)
            #z = complex(px, py)     # Julia
            #c = complex(-0.4, 0.6)  # Julia
            
            for i in range(niter):
                if abs(z) > 4: break
                z = z**2 + c
            color = (i << 21) + (i << 10)  + i * 8
            pixels[y,x] = color
    return pixels

pixels = mandelbrot_set()
plt.axis('off')
plt.imshow(pixels, cmap='magma')
plt.show()

Das Python-Programm liefert folgendes Bild :

Wir iterieren dabei über jeden Bildpunkt und "loten aus", ob und wann die Iterationsgleichung für diesen einen beschränkten Orbit liefert, oder aber, ob nur deterministisches Chaos dabei herauskommt. Die dafür verwendete Abbruchbedingung beim Ausloten kann mathematisch hergeleitet werden. Die Einfärbung entspricht dabei der Iterationstiefe.

Mit dem gleichen Algorithmus kann man auch die verwandte Julia-Menge darstellen, wenn man ihn leicht modifiziert. Anstatt mit z = 0 zu starten, und die Bildpunkte in c einzusetzen, geben wir zur Berechnung der Julia-Menge c einen konstanten Wert und setzen die Bildpunkte in z₀ ein. Das ergibt folgendes Bild :

Räuber-Beute-Beziehungen

Räuber-Beute-Systeme sind ein wunderbares Anschauungsobjekt für die kybernetische Rückkopplung zwischen zwei Größen in einem dynamischen System (z. B. Hasen und Füchse).

Eine Räuber-Beute-Beziehung kann durch Differentialgleichungen dargestellt werden. Die Lotka-Volterra-Gleichungen, in die wir uns gar nicht weiter vertiefen brauchen, wurden in den 1920er Jahren von ihren beiden Namensgebern ohne jegliche Zusammenarbeit aufgestellt entspringen im Prinzip der logistischen Funktion.

Die Gleichungen können ebenso auch parasitäre, symbiotische oder konkurierende Beziehungen beschreiben und lassen sich auch in Iterationsgleichungen umformen.

Typischerweise läuft die Kurve der Populationsdichte des Räubers der Kurve der Populationsdichte der Beute nach. Da die Kurven zeitlich versetzt verlaufen, entsteht keine sofortige negative Rückkopplung, sondern es gibt periodisch verlaufende Schwankungen.

Ausblick auf komplexere Systeme

Als Edward N. Lorenz ein vereinfachtes Gleichungssystem, bestehend aus drei gekoppelten Größen, für Wettervorhersagen modellieren wollte, stieß er auf eine Merkwürdigkeit : Als er seine ersten Ergebnisse abends noch einmal mit einer um ein paar Kommastellen höheren Genauigkeit ausrechnete, kam er unerwartet zu völlig verschiedenen Ergebnissen.

Dem nach ihm benannten Lorenz-Attraktor entspringt die Metapher des Schmetterlingseffekts, daß "der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas auslösen kann".

Die synergetische Perspektive

Bereits Max Planck wies darauf hin, dass das physikalische Weltbild der Moderne seinen anschaulichen Charakter immer mehr einbüßt, und dass Qualitätsunterschiede immer mehr auf Quantitätsunterschiede zurückgeführt werden.

Hermann Haken fand in der Synergetik die Ordnungsparameter eines Systems, die den Rest des Systems zu einer Ordnung "versklaven". Er arbeitete seinerzeit an der Entwicklung des Lasers, und wunderte sich über den sprunghaften Übergang des Lichts von normalem Licht mit vielen Wellenlängen ("Farben") zu Laserlicht mit nur einer Wellenlänge. Aus dem Resonator, den er baute, trat erst dann monochromatisches Laserlicht aus, als die Teilchen im Resonator durch die optische Pumpe über ein gewisses Energie-Niveau hinaus angeregt wurden. Ansonsten trat nur gewöhnliches Licht aus. Im Gegensatz zu Übergängen von Aggregatzuständen, welche ähnlich verlaufen, ist der Laser jedoch (wie auch alles Leben) ein Nichtgleichgewichtssystem

Das Verhalten der Amplitude des austretenden Lichts kann man mit einem Teilchen vergleichen, das einerseits abgebremst, andererseits durch unregelmäßige Stöße der Rauschkraft angestoßen wird. Hermann Haken untersuchte das mögliche Bewegungspotential (V) des Teilchens stochastisch, und fand heraus, daß es initial einer Parabel gleicht, in der das Teilchen am liebsten in dem Zustand in der Mitte liegen bleibt, solange es nicht angestoßen wird.

Jedes Zurückrollen erzeugt einen abklingenden Wellenzug. Bei quantitativ zunehmender Pumpstärke verformt sich das Bewegungs-Potential (V) des Teilchens aber qualitativ. Die bisherige Nullage in der Mitte wird instabil, und die Teilchen wandern plötzlich in eines der neuen Täler; das ist der Laserzustand.

Hermann Haken hat einige weitere Phänomene gefunden, die durch die Synergetik erklärt werden können. Hier ein weiteres Beispiel :

Die Physik des Lasers korreliert mit den Lotka-Volterra-Gleichungen :

• Die Beute entspricht der Anzahldichte der angeregten elektronischen Zustände in einem (z.B. optisch) gepumpten Material
• Die Räuber entsprechen der im Resonator des Lasers befindlichen/eingekoppelten Photonen
• Die Koeffizienten des Lotka-Volterra Gleichungsmodells entsprechen bei den Ratengleichungen des Lasers den Einstein-Koeffizienten der spontanen und stimulierten Emission sowie der Absorption

Die Synergetik korreliert mit den Theorien über dissipative Strukturen, wie Leben. Diese Theorien sind mitunter den Arbeiten von Alan Turing zu verdanken.

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Strategien der Evolution

• Zufällige Initialisierung der Anfangspopulation mit Genen
• Jedes Element wird nach seiner Fitness bewertet
• Wenn es die Lösung erfüllt, endet der Algorithmus
• Bei der Selektion werden die schlechtesten Elemente verworfen
  • Entweder inform eines Alters
  • Oder man vergeicht zwei zufällig gewählte Elemente und behält nur das bessere
• Bei der Vermehrung
  • nimmt man zwei Elemente, kreuzt die Gene an einer zufälligen Stelle und erzeugt daraus zwei neue Elemente ("Crossover")

• Außerdem verändert man einzelne Bits im Genom der neuen Elemente zufällig (Mutation)

Das folgende Python-Programm findet z. B. auf diese Weise sehr schnell das Minimum der zweidimensionalen Funktion z = x² + y² :

#!/usr/bin/python3
from numpy.random import randint
from numpy.random import rand

# Funktion x² + y²
def objective(x):
	return x[0]**2.0 + x[1]**2.0

# Gene in Funktionsparameter umwandeln
def decode(bounds, n_bits, bitstring):
	decoded = list()
	largest = 2**n_bits
	for i in range(len(bounds)):
		start, end = i * n_bits, (i * n_bits)+n_bits
		substring = bitstring[start:end]
		chars = ''.join([str(s) for s in substring])
		integer = int(chars, 2)
		value = bounds[i][0] + (integer/largest) * (bounds[i][1] - bounds[i][0]) # Skalieren
		decoded.append(value)
	return decoded

def selection(pop, scores, k=3):
	selection_ix = randint(len(pop))
	for ix in randint(0, len(pop), k-1):
		if scores[ix] < scores[selection_ix]:
			selection_ix = ix # Besseres Minimum
	return pop[selection_ix]

def crossover(p1, p2, r_cross):
	c1, c2 = p1.copy(), p2.copy()
	if rand() < r_cross:
		pt = randint(1, len(p1)-2) # Crossover-Punkt
		c1 = p1[:pt] + p2[pt:]
		c2 = p2[:pt] + p1[pt:]
	return [c1, c2]

def mutation(bitstring, r_mut):
	for i in range(len(bitstring)):
		if rand() < r_mut:
			bitstring[i] = 1 - bitstring[i] # Flip bit

def genetic_algorithm(objective, bounds, n_bits, n_iter, n_pop, r_cross, r_mut):
	# Population mit Zufallswerten initialisieren
	pop = [randint(0, 2, n_bits*len(bounds)).tolist() for _ in range(n_pop)]
	best, best_eval = 0, objective(decode(bounds, n_bits, pop[0]))	
	for gen in range(n_iter):
		decoded=[decode(bounds, n_bits, p) for p in pop] # Funktionsparameter aus Genen entpacken
		scores=[objective(d) for d in decoded] # Funktionswerte ermitteln
		for i in range(n_pop):
			if scores[i] < best_eval:
				best, best_eval=pop[i], scores[i]
				print(">%d, new best f(%s) = %f" % (gen,  decoded[i], scores[i]))
		selected=[selection(pop, scores) for _ in range(n_pop)]
		children=list()
		for i in range(0, n_pop, 2):
			p1, p2=selected[i], selected[i+1]
			# Crossover und Mutation
			for c in crossover(p1, p2, r_cross):
				mutation(c, r_mut)
				children.append(c)
		pop=children # Generationswechsel
	return [best, best_eval]

bounds=[[-5.0, 5.0], [-5.0, 5.0]] # Wertebereich der Funktionsparameter
n_iter=100
n_bits=16
n_pop=100 # Populationsgröße
r_cross=0.9 # Crossover-Rate
r_mut=1.0 / (float(n_bits) * len(bounds)) # Mutationsrate

best, score=genetic_algorithm(
    objective, bounds, n_bits, n_iter, n_pop, r_cross, r_mut)
print('Done!')
decoded=decode(bounds, n_bits, best)
print('f(%s) = %f' % (decoded, score))

Hier ist eine Beispiel-Ausgabe :

>0, new best f([-0.49957275390625, 0.20111083984375]) = 0.290019
>0, new best f([- 0.480499267578125, 0.213775634765625]) = 0.276580
>1, new best f([- 0.243072509765625, -0.27069091796875]) = 0.132358
>1, new best f([-0. 140228271484375, -0.18768310546875]) = 0.054889
>2, new best f([- 0.137786865234375, -0.18768310546875]) = 0.054210
>3, new best f([0.067291259765625, -0.18768310546875]) = 0.039753
>4, new best f([0.06591796875, -0.18768310546875]) = 0.039570
>4, new best f([-0.054168701171875, 0.032501220703125]) = 0.003991
>5, new best f([-0.054168701171875, 0.00762939453125]) = 0.002992
>6, new best f([0.04119873046875, 0.01922607421875]) = 0.002067
>7, new best f([0.04119873046875, 0.0183105468751) = 0.002033
>7, new best f([0.0408935546875, 0.0042724609375]) = 0.001691
>8, new best f([- 0.034027099609375, -0.006561279296875]) = 0.001201
>8, new best f([0. 0140380859375, 0.0144958496093751) = 0.000407
>9, new best f ([0.0042724609375, 0.0144958496093751) = 0.000228
>12, new best f ([0. 012054443359375, 0.00823974609375]) = 0.000213
>14, new best f([0. 00579833984375, 0.00640869140625]) = 0.000075
>16 , new best f ([0.00579833984375, 0.00518798828125]) = 0.000061
>17, new best f([0.005950927734375, 0.00396728515625]) = 0.000051
>17, new best f([0.000762939453125, 0.003967285156257) = 0.000016
>21, new best f([0.0006103515625, 0.00213623046875]) = 0.000005
>23, new best f([0.0, 0.0]) = 0.000000
Done!
f([0.0, 0.0]) = 0.000000

Damit kann man schon einigen Problemen begegnen, z. B., dem „Travelling Salesman“-Problem, dem Gradientenabstieg für mehrlagige künstliche neuronale Netze, der Aktienanalyse oder der RNA-Strukturvorhersage.

Das evolutionäre Konzept ist ein integraler Bestandteil unseres Planeten. Da die Zeitspanne der gesamten Existenz der Menschheit und des Menschen nur ein Bruchteil derer der gesamten Natur ist, und sie offensichtlich schon länger als er im Geschäft des Lebens ist, sollte der Mensch erkannt haben, daß sein Wissen über sie, auch wenn es stetig wächst, bis auf Weiteres unvollständig ist, und das letzte Wort, wenn es je ausgesprochen werden muss, sein eigenes ist, das aus ihrem Munde kommen wird.

Obwohl es noch Menschen gibt, die an den Irrglauben gewöhnt sind, daß wir eine ausreichend reflektierte Vorstellung von Perfektion haben und den Planeten und die Natur perfekt beherrschen, und sich durch ihre Hybris bestärkt fühlen, sich dem Sozialdarwinismus hinzugeben, weiß der Rest der Menschheit längst, daß es WIR SELBST sein können, die im Zweifel von der Evolution beseitigt werden, wenn wir uns nicht entsprechend dem Rest den umgebenen komplexen Ökosystems anpassen.

Zelluläre Automaten

Auch zelluläre Automaten verwenden die iterierte Rückkopplung. Dabei wird durch (für den Automaten) allgemeingültige Regeln bestimmt, in welchem Zustand jede Zelle sich in der nächsten Iteration befinden soll. Diese Zellzustände und ihre Veränderung werden grafisch dargestellt.

Zelluläre Automaten haben vier Grundparameter :

• Anzahl der Dimensionen (z.B. 1-dimensional)
• Anzahl der Zustände pro Zelle (z.B. 0 und 1)
• Übergangsregeln
• Nachbarschaftsbeziehungen

  • z.B. links und rechts

    

  • z. B. Von-Neumann-Nachbarschaft
    (links, rechts, oben, unten)

    

  • z. B. Moore-Nachbarschaft
    (auch die diagonalen Nachbarn)

    

Die Ränder grenzen aneinander, wie bei Pacman :

• Bei einem eindimensionalen ZA → Kreis, d.h. die äußersten Punkte sind Nachbarn
• Bei einem zweidimensionalen ZA → Torus, d.h. die äußersten Kanten grenzen aneinander
• Bei einem dreidimensionalen ZA → Hypertorus, d.h. die äußersten Flächen grenzen aneinander

Eindimensionale zelluläre Automaten

Die Welt eines eindimensionalen ZA ist nicht mehr als eine Aneinanderreihung von Pixeln.

Dies führt zu 2³ = 8 möglichen Übergängen :

Die Spalte "Zelle neu" enthält dabei die Ergebnisse zu den möglichen Übergängen für einen bestimmten von insgesamt 256 möglichen Automaten. Diese 8 Bit passen genau in ein Byte. Damit steckt also der gesamte Regelsatz für einen bestimmten eindimensionalen ZA in einer Zahl zwischen 0-255, weil dadurch alle Übergangsregeln für diesen Automaten definiert sind.

Beispiel : Regel 22 entspricht binär geschrieben 00010110. Bit0 ist ganz rechts. Die Regel würde also die Spalte "Zelle neu" von oben nach unten mit 0,1,1,0,1,0,0,0 befüllen.

Bei den eindimensionalen ZA kann man die jeweiligen Iterationen (Striche) untereinander malen. Das folgende Python-Programm zeichnet uns beliebige ZA aus Stephen Wolfram's eindimensionalen Universum :

#!/usr/bin/python3
from __future__ import division
import sys
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

if __name__ == "__main__":
    rule = sys.argv[1]
    w = 1000
    r = s = [0] * w
    r[int(w/2)] = 1
    d = 0
    xlist = []
    ylist = []
    fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=1, figsize=(18, 10))

    for j in range(0, int(w/2)):
        n = (r[0] << 1) + r[1]
        for i in range(1, w):
            if r[i] == 1:
                xlist.append(i)
                ylist.append(d)
        for i in range(2, w):
            n = (n << 1) + r[i]
            if n >= 8:
                n -= 8
            s[i-1] = (int(rule) >> n) % 2
        r = s
        d += 1
    plt.plot(xlist, ylist, ",k")
    plt.savefig("cellular.png")
    plt.show()

So sieht Beispielsweise die Regel 22 aus :

Dieses Sierpinski-Dreieck ist zwar ein klassisches Fraktal, aber noch nicht komplex, sondern völlig geordnet. Die nächste Zeile wäre auch ohne Kenntnis der Regeln vorhersagbar, alleine aufgrund des sichtbaren Musters.

Anders verhält es sich aber z. B. mit der komplexen Regel 30 :

Obwohl dies insgesamt eigentlich ein sehr einfaches iteratives System mit wirklich einfachen Regeln ist, ist das Verhalten nicht mehr komplett vorhersagbar, in dem Sinne, daß niemand (auch kein Rechner) spontan vorhersagen könnte, wie z. B. die 1.000.000.000ste Iteration aussieht. Die Zellen müssen dies bis dorthin "durch-leben", damit man das Ergebnis erfahren kann !

Zweidimensionale zelluläre Automaten

Der bekannteste, zweidimensionale ZA, der komplexes Verhalten hervorbringen kann, ist das Game of life (Spiel des Lebens) von Horton Conway. Das Pixelfeld ist nun zweidimensional. Die Regeln sind wiefolgt :

Die bekanntesten Objekte des Game of life sind :

• Statische Objekte

• Oszillierende Objekte

• Raumschiffe und Gleiter

• Gleiterkanonen

Eine sehr interessante Figur ist auch das f-Pentomino als alleinige Startfigur auf dem Spielfeld :

Über 1102 Iterationen lang ist der Verlauf chaotisch, und dann am Ende oszillierend :

Das f-Pentomimo ist das einzige rechtwinklige Objekt aus weniger als 6 lebenden Zellen, das eine so aktive Welt erzeugt, alle anderen wachsen nach spätestens 10 Generationen nicht weiter.

Bemerkenswert ist außerdem :

→ Das Game of Life ist Turing-vollständig :
Man kann die Funktionen „UND“, „ODER“ und „NICHT“ durch Objekte des Game of life bauen und beliebig verschachteln. Dadurch kann man einen "Computer" bauen, der ein beliebiges berechenbares Problem lösen kann.

→ Das Game of Life ist unentscheidbar :
Es gibt Konfigurationen, von denen man nicht sagen kann, ob die eine Konfiguration aus der anderen entstehen kann oder nicht.

Ist diese Unentscheidbarkeit, so stellt sich also die Frage, vielleicht ein essenzieller Baustein lebender Systeme ? Diese Unentscheidbarkeit, die die Schöpfung womöglich zum Durchleben zwingt, um ein Ergebnis zu erfahren ? Und was können WIR entscheiden, und was ist bereits entschieden ?

Buridan's Esel steht zwischen zwei Heuhaufen, die beide exakt gleich weit weg sind, und exakt gleich riechen und aussehen. Trotzdem würde kein realer Esel je verhungern, nur weil er sich nicht zwischen ihnen entscheiden könnte.

»Nur die Fragen, die prinzipiell unentscheidbar sind, können wir entscheiden.« (Heinz von Foerster)

Wer es selbst spielen möchte :
Das Projekt "golly" ist eine kostenlos erhältliche Implementierung des Game of life und auf nahezu jeder Plattform verfügbar !

Es war übrigens Rudolf Kaehr (dessen Mentor Gotthard Günther war), der die ZA aus morphogrammatischer Sicht untersucht, und eine Klaviatur für zelluläre Automaten entwickelt hat.

Klassifikation und Bedeutung zellulärer Automaten

Christopher Langton hat versucht, diese unterschiedlichen Verhaltensweisen von ZA zu klassifizieren und die Komplexität in einer Konstante auszudrücken. Die von ihm eingeführte Konstante λ (lambda) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, mit der eine bestimmte Zelle in der nächsten Generation lebendig ist.

• Klasse 1: statisch
  Entwicklung zu einem stabilen Zustand
  (bei Game of Life : λ=0)
• Klasse 2: periodisch
  Stabile oder oszillierende Strukturen
  (bei Game of Life : 0 < λ < 0.273)
• Klasse 3: chaotisch oder pseudozufällig
  (Bei Game of Life : 0.273< λ < 0.5)
• Klasse 4: komplex
  Nicht explizit in Klasse 1-3 einzuordnen
  (Bei Game of Life : λ = 0.273)

Die Ausgangsbasis sind gerichtete Graphen, die ganz einfach durch Tupel von Start- und Endknoten beschrieben werden können.

Ein beispielhafter Graph könnte zum Beispiel so beschrieben werden :

{{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {2,4}}

Dieser Graph sieht so aus :

Auch die Übergangsregeln können in der Tupel-Schreibweise dargestellt werden. So könnte eine Regel lauten :

{{x, y), {x, z}} -> {{x, z}, {x, w}, (y, w}, {z, w}}

Diese Regel sieht graphisch dargestellt so aus :

Wenn wir diese Regel nun einmal auf den Beispielgraphen anwenden, werden dadurch die Relationen {2,3} und {2,4} berührt :

{{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {2, 4}} → {1, 2}, {3, 4}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 5}, {4, 5}}

Bereits nach wenigen Iterationen der Regel entsteht ein äußerst komplexer Graph :

In beeindruckender Weise bringt der Physiker und Mathematiker damit Masse, Energie, Raum, Zeit, Dimensionen und Kausalität in Zusammenhang, ohne dabei den bisherigen Überlegungen von Einstein zu widersprechen.

Damit fundiert Stephen Wolfram seine Idee auf - wie soll es sonst auch anders sein - Rückkopplung ! Er betont auch, daß die Theorie selbst autologisch sein, sich also selbst erklären können muss, anstatt sich - wie bisher klassisch - von dem auszugrenzen, was sie selbst beschreibt. Auch seine Gedanken über Bewußtsein sind in diesem Zusammenhang beeindruckend.

Die Frage nach der Ordnung